Квазистационарное электромагнитное поле - / 09 Квазистационарные электромагнитные поля

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны. Квазистационарное электромагнитное поле в неидеальных материалах. Основные уравнения и граничные условия. На практике в большинстве случаев найти точное решение возникшей математической задачи не удается или это очень сложно, поскольку, обычно искомое решение выражается в привычных для нас элементарных или других известных функциях. Поэтому, важное значение приобретают численные методы.

Среди численных методов решения задач в различных областях, получивших наибольшее распространение, ведущее положение занимает метод конечных элементов МКЭ. Его отличает широкая область применения, инвариантность по отношению к геометрии конструкции и физическим характеристикам материалов, относительная простота учета взаимодействия конструкций с окружающей средой, высокая степень приспособляемости к автоматизации всех этапов расчета.

Результатом курсовой работы должен быть расчет изменения квазистационарного электромагнитного поля.

09 Квазистационарные электромагнитные поля

Главным в курсовой работе можно считать выбор моделирующего устройства или пакета прикладных программ, описывающего данный расчет. Выбор пал на среду моделирования Comsol Multiphysics 3. Так же, к преимуществам данной системы можно отнести простой и удобный интерфейс программы, который в совокупности с широким набором инструментов, позволяет достаточно быстро, удобно и эффективно решать задачи различного профиля.

В науке и технике постоянно приходится сталкиваться с проблемой расчета систем, имеющих сложную геометрическую конфигурацию и нерегулярную физическую структуру. Компьютеры позволяют выполнять такие расчеты при помощи приближенных численных методов. Метод конечных элементов МКЭ является одним из них.

В последние десятилетия он занял ведущее положение и получил широкое применение. На простых примерах мы рассмотрим сущность метода конечных элементов и отметим его основные достоинства. Предположим, что состояние системы описывается некоторой функцией.

Пусть эта функция является единственным решением математической задачи, сформулированной на основе физических законов. Решение состоит в отыскании из бесконечного множества функций такой, которая удовлетворяет уравнениям задачи. Если задача достаточно сложная, то ее точное решение невозможно.

Вместо того чтобы искать требуемую функцию среди бесконечного множества разнообразных функций, задача упрощается. Рассматривается некоторое семейство функций, определяемых конечным числом параметров.

Как правило, среди таких функций нет точного решения задачи. Однако соответствующим подбором параметров можно попытаться приближенно удовлетворить уравнениям задачи и тем самым построить ее приближенное решение. Такой общий подход характерен для многих приближенных методов. Специфическим в методе конечных элементов является построение семейства функций, определяемых конечным числом параметров.

Отметим несколько важных достоинств метода конечных элементов. Метод конечных элементов позволяет построить удобную схему формирования системы алгебраических уравнений относительно узловых значений искомой функции. Приближенная аппроксимация решения при помощи простых полиномиальных функций и все необходимые операции выполняются на отдельном типовом элементе.

Затем производится объединение элементов, что приводит к требуемой системе алгебраических уравнений. Такой алгоритм перехода от отдельного элемента к их полному набору особенно удобен для геометрически и физически сложных систем.

Каждое отдельное алгебраическое уравнение, полученное на основе метода конечных элементов, содержит незначительную часть узловых неизвестных от общего их числа. Другими словами, многие коэффициенты в уравнениях алгебраической системы равны нулю, что значительно облегчает ее решение.

Задачи, решение которых описывается функциями, удовлетворяющими функциональным уравнениям, носят название континуальных. В отличие от них решение так называемых дискретных задач точно определяется конечным числом параметров, удовлетворяющих соответствующей системе алгебраических уравнений.

Метод конечных элементов, так же как и другие численные методы, по существу приближенно заменяет континуальную задачу на дискретную конечных элементов - один из наиболее эффективных численных методов решения математических задач, описывающих состояние физических систем сложной структуры. МКЭ представляет собой эффективный численный метод решения инженерных и физических задач. Область его применения простирается от анализа напряжений в конструкциях самолётов или автомобилей до расчёта таких сложных систем, как атомная электростанция.

С его помощью рассматривается движение жидкости по трубам, через плотины, в пористых средах, исследуется течение сжимаемого газа, решаются задачи электростатики и смазки, анализируются колебания систем. МКЭ является численным методом решения дифференциальных уравнений, встречающихся в физике и технике.

Возникновение этого метода связано с решением космических задач г. Область применения МКЭ существенно расширилась, когда было показано, что уравнения, описывающие элементы в задачах строительной механики, распространения тепла и гидромеханики, аналогичны. МКЭ из численной процедуры решения задач строительной механики превратился в общий метод численного решения дифференциальных уравнений. Основная идея МКЭ состоит в том, что любую непрерывную величину, такую как температура, давление и перемещение, можно аппроксимировать дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций.

В общем случае непрерывная величина заранее известна, и нужно определить значение этой величины в некоторых внутренних точках области. Дискретную модель очень легко построить, если сначала предположить, что числовые значения этой величины в каждой внутренней области известны. После этого можно перейти к общему случаю. Итак, при построении дискретной модели непрерывной величины поступают следующим образом:.

В рассматриваемой области фиксируется конечное число точек. Эти точки называются узловыми точками или узлами. Значение непрерывной величины в каждой точке считается переменой, которая должна быть определена. Область определения непрерывной величины разбивается на конечное число областей, называемых элементами.

Эти элементы имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют форму области. Непрерывная величина аппроксимируется на каждом элементе полиномом, который определяется с помощью узловых значений этой величины. Для каждого элемента определяется свой полином, но полиномы подбираются таким образом, чтобы сохранилась непрерывность величины вдоль границ элемента его называют функцией элемента.

Выбор формы элемента и функций для конкретных задач зависит от изобретательности и мастерства инженера, и совершенно ясно, что этим определяется точность приближённого решения. В COMSOL Multiphysics существует приложение дифференциальных уравнений в частных производных PDE modes для моделирования на основе уравнения. Оно поддерживает три типа задания таких систем:. Единственная зависимая переменная u - неизвестная функция в решаемой области.

COMSOL Multiphysics вычисляет ее решая PDE, которые вы определили. В коэффициентной форме PDE выглядит следующим образом:. Первое уравнение в списке - PDE, которое должно быть удовлетворено в решаемой области. Второе и третье уравнения это граничные условия, которые должны фиксироваться на границах. Второе уравнение это обобщенное граничное условие Ньюмана generalized Neumann boundary condition , тогда как третье уравнение это граничное условие Дирихле Dirichlet boundary condition.

Обобщенное граничное условие Ньюмана, также называют смешанным граничным условием mixed boundary condition или граничным условием Робина Robin boundary condition. В терминологии метода конечных элементов граничные условия Ньюмана называются естественными граничными условиями natural boundary conditions , потому что они не встречаються явно в слабой форме PDE. Условия Дирихле также называются неотъемлемыми граничными условиями essential boundary conditions , так как они ограничивают решаемую область.

Граничные условия Дирихле часто представляют ограничивающими условиями. Эффект опоздания становится неважным, если линейные размеры системы намного меньше длины волн, которые распространяются в системе. Квазистационарное поле не является потенциальным полем и электрическое и магнитное поля взаимно связаны между собой. Уравнения Максвелла для квазистационарного электромагнитного поля имеют вид:.

Квазистационарные электромагнитные поля

Плотность тока удовлетворяет уравнение непрерывности. Квазистационарное приближение можно сформулировать в понятии напряженности полей, или в понятиях скалярного и векторного потенциалов электромагнитного поля. Из первого уравнения системы 1. Если электромагнитное поле изменяется со временем по гармоническому закону, то уравнение 1.

Квазистационарное приближение в понятиях потенциалов можно сформулировать, если использовать определение скалярного и векторного потенциалов.

Для случая квазистационарного электромагнитного поля, которое изменяется по гармоническому закону, на основании уравнений 1. Если в первом уравнении 1. Обычно неидеальность среды учитывается с помощью комплексной проводимости. Неидеальные среды условно можно разделить на неидеальные проводники и неидеальные диэлектрики. Для идеального проводника характерным является движение свободных зарядов под действием поля и полное отсутствие поляризации, а характеристикой идеального проводника является удельная проводимость.

В идеальном диэлектрике наблюдается явление поляризации и отсутствие свободных зарядов, а его характеристикой является диэлектрическая проницаемость. В неидеальных проводниках и неидеальных диэлектриках существуют свободные заряды, способные двигаться под действием полей, и существует явление поляризации.

Количественной характеристикой, при помощи которой можно характеризовать неидеальные среды, является отношение плотности тока проводимости и плотности тока смещения.

Для гармонических полей это отношение можно записать:. Для неидеальных проводников в переменных полях ток проводимости больше тока смещения и выполняется неравенство. Неидеальный проводник характеризуется комплексной удельной проводимостью. Для неидеальных диэлектриков ток смещения больше тока проводимости и выполняется неравенство. Неидеальный диэлектрик характеризуется комплексной диэлектрической проницаемостью.

Разделение неидеальных сред на неидеальные проводники и неидеальные диэлектрики является условным. Одна и та же среда при низких частотах может проявлять себя как неидеальный проводник, а на высоких частотах как неидеальный диэлектрик.

В неидеальных средах всегда существуют потери электромагнитной энергии. При решении граничных задач, кроме уравнений 1.

При этом следует выделять граничные условия как для магнитных переменных полей, та и для электрических переменных.

Для магнитных переменных могут использоваться следующие граничные условия:. Материальные параметры для неидеальных сред могут быть как скалярными для изотропных сред , так и тензорными для анизотропных сред. В качестве начальных условий при описании квазистационарных полей при помощи потенциалов следует выбрать начальные значения скалярного и векторного потенциалов. При реализации методом конечных элементов поставленной задачи расчет изменения квазистационарного электромагнитного поля использован пакет моделирования различных стационарных и нестационарных процессов в различных средах - Comsol Multiphysics 3.

Но нас в данном случае больше всего интересует трехмерное моделирование электромагнитного поля гармонического во времени квазистационарного анализа медных проводников под напряжением в цилиндре. Пакет Comsol Multiphysics соответствует нашим требованиям.

Квазистационарные поля. Критерии квазистационарности

Программа основана на системе дифференциальных уравнений в частных производных. Существует три математических способа задания таких систем:. Для решения PDE, COMSOL Multiphysics использует метод конечных элементов Finite Element Method - FEM. Программное обеспечение запускает конечно-элементный анализ вместе с сеткой учитывающей геометрическую конфигурацию тел и контролем ошибок с использованием разнообразных численных решателей. Так как многие физические законы выражаются в форме PDE, становится возможным моделировать широкий спектр научных и инженерных явлений из многих областей физики таких как: Кроме вышеперечисленного, программа позволяет с помощью переменных связи coupling variables соединять модели в разных геометриях и связывать между собой модели разных размерностей.

Пакет COMSOL Multiphysics обладает огромными возможностями в области моделирования процессов различной природы. Его интерфейс достаточно прост и понятен. Кроме этого COMSOL Multiphysics, по сути, является инструментом Toolbox пакета MATLAB и работает под его управлением.

Это означает, что все возможности программирования, доступные в MATLAB, могут быть использованы и в COMSOL Multiphysics например, при обработке результатов расчета. К сожалению, для COMSOL Multiphysics в настоящий момент отсутствует документация на русском языке, что значительно сдерживает его применение. Рассмотрим цилиндр, в котором расположены пять медных цилиндрических проводников с круглым поперечным разрезом, по которым протекают гармонические токи одинаковой плотности и одинакового направления.

Необходимо смоделировать процесс изменения электромагнитного поля. Для проведения моделирования электромагнитного поля в выбранном пакете необходимо составить алгоритм работы в нем. Выбираем размерность модели, определяем физический раздел в Model Navigator [Навигаторе моделей] каждому разделу соответствует определенное дифференциальное уравнение и определяем стационарный или нестационарный анализ электромагнитного поля.

Размерность модели выбирается в Model Navigator [Навигаторе моделей] на первой вкладке New в Space Dimension [размерность пространства], кроме 1D , 2D и 3D там есть Axial Symmetry 1D и 2D для осесимметричных моделей.

Теперь Comsol Multiphysics готов к прорисовке геометрии. Прорисовывать геометрию можно, выполняя команды группы Draw главного меню или с помощью вертикально расположенной инструментальной панели, расположенной в левой части фигуры Comsol Multiphysics. Нам необходимо нарисовать двухмерную модель цилиндра с проводниками. Цилиндр с диаметром стремящемся к еденице и пятью проводниками, равномерно расположенными в нем. Результат построения представлен на рисунке 4. Когда геометрия задана и все константы определены, можно приступить к заданию электромагнитных свойств.

Во вкладке Physics надо задать свойства материала, в данном случае электромагнитные, для распространенных материалов можно воспользоваться встроенной библиотекой. В режиме задания материальных свойств в поле subdomain selection геометрия расчётной области изображается в виде объединения неперекрывающихся подобластей, которые называются зонами.

В данной задаче расчётная область состоит из шести зон - магнитного диэлектрического цилиндра и пяти медных проводников в нем. Чтобы задать граничные условия нужно перевести Comsol Multiphysics в режим ввода граничных условий Boundary Mode. В этом режиме отображаются внутренние и внешние граничные сегменты по умолчанию в виде стрелок, указывающих положительные направления сегментов.

Общий вид модели в этом режиме показан на рисунке 5. В этом окне надо выбрать необходимые границы в поле Boundary selection.

На рисунках 6 показано граничные условия: В этом диалоговом окне есть также панель выделения сегментов. Так что, не обязательно их выделять непосредственно в поле boundary selection.

Если нажать кнопку OK или Apply, то введённые граничные условия будут приняты. На этом в данной задаче ввод граничных условий можно считать законченным. После задания всех свойств и граничных условий наступает очередь построения сетки. Для моделей чистой кондукции, не связанных с потоком массы, можно этим и ограничиться: По умолчанию, Comsol строит в двумерном режиме треугольную, а в трехмерном тетраэдрическую сетку.

Откроется окно настроек, на вкладке Global можно выбрать один из предустановленных режимов. В списке Predefined mash sizes девять режимов от Extremely fine [Чрезвычайно точный] до Extremely coarse [ Чрезвычайно грубый] , остальные расположены между этими крайними режимами. В полях можно задать собственные значения параметров сетки.

Maximum element size задает максимальный размер элемента. Maximum element size scaling factor если ничего не задавать в предыдущее поле, то значение этого поля будет определять размер элемента если задать 0. Element growth rate [Темп роста элемента] отвечает за степень сгущения, принимает значения от единицы до бесконечности, чем ближе значение к единице тем более равномерная сетка. Mesh curvature factor и Mesh curvature cut off чем меньше эти значения, тем более точно задана криволинейность границы: Resolution of narrow regions задает минимальное количество элементов по самой короткой границе, для точных вычислений рекомендуется устанавливать значения этого параметра не меньше десяти.

Выбор решающего устройства и его параметров очень важен, так как в основном от него зависит достоверность вычислений. Неправильная настройка может привести к грубым ошибкам решения, которые очень трудно выявить. Так же очень важно правильно оптимизировать решение. После завершения решения автоматически включается режим Postprocessing mode [Режим постобработки] в котором можно наблюдать результаты вычисления.

По умолчанию, в расчетах теплопереноса выводится поле температур. Очень часто бывает нужно изменить в модели некоторые параметры геометрические размеры, граничные условия, материалы. Можно многократно изменять параметры модели и повторно выполнять решение. На вкладке Surface в подменю Range Мы видим, что Comsol очень наглядно показывает каким образом происходит изменение магнитного поля.

Изменяя параметры визуализации мы можем добиться интересующей нас картинки, наиболее полно раскрывающей весь процесс. Как видно из проделанной работы, результат во многом зависит от человеческого фактора. А именно, конечный продукт напрямую связан с целями и задачами поставленными перед разработчиком.

Пакет Comsol оснащен мощным набором функций, при изменении которых можно добиться максимальной наглядности изображения и реальности моделирования. COMSOL Multiphysics - это мощная интерактивная среда для моделирования и расчетов большинства научных и инженерных задач основанных на дифференциальных уравнениях в частных производных PDE методом конечных элементов.

С этим программным пакетом мы можем расширять стандартные модели использующие одно дифференциальное уравнение прикладной режим в мультифизические модели для расчета связанных между собой физических явлений.

Расчет не требует глубокого знания математической физики и метода конечных элементов. Это возможно благодаря встроенным физическим режимам, где коэффициенты PDE задаются в виде понятных физических свойств и условий, таких как: Преобразование этих параметров в коэффициенты математических уравнений происходит автоматически.

Взаимодействие с программой возможно стандартным способом - через графический интерфейс пользователя GUI , либо программированием с помощью скриптов на языке COMSOL Script или языке MATLAB. В ходе выполнения данного курсового проекта была проведена научная работа по сбору и обработке информации, на основе её анализа были выполнены действия по реализации задания проекта.

Были рассмотрены теоретические вопросы метода конечных элементов. Также был изучен сам метод конечных элементов, как наиболее уместный для расчета электромагнитного поля в нашем случае. Практическая часть работы была выполнена в среде моделирования Comsol Multiphysics 3. Был проведен расчет электромагнитного поля для двух- и трехмерного случая. Все подкреплено описаниями работы и скриншотами результатов. Вариационные методы в математической физике. Численные методы на основе метода Галеркина.

Радио и связь, Принципы построения и структура. Научно-методическое пособие - Одесса: Квазистационарные электромагнитные поля в неоднородных средах: Основы теории электромагнитного поля: Справочное пособие для электротехн.

Современная общая теория дифференциальных уравнений. Обзор основных понятий и классификации дифференциальных уравнений в частных производных. Начальные и граничные условия. Численное решение уравнений математической физики. Свойства монохроматического электромагнитного поля. Нахождение токов на верхней стенке волновода. Определение диапазона частот, в котором поле является волной, бегущей вдоль оси. Нахождение комплексных амплитуд векторов с помощью уравнения Максвелла.

Переменное электромагнитное поле в однородной среде или вакууме. Уравнения, описывающие распространение электромагнитных волн в плоском оптическом волноводе. Дисперсионные уравнения трехслойного диэлектрического волновода. Макроскопическое электромагнитное поле в сплошных неподвижных средах.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Энергия электромагнитного поля и теорема Пойнтинга. Применение метода комплексных амплитуд. Волновой характер электромагнитного поля. Описание произвольного электромагнитного поля с помощью вектор-потенциала.

Решение волнового уравнения для напряженностей полей. Уравнение Максвелла в пространстве. Появление вихревого электрического поля - следствие переменного магнитного поля. Магнитное поле как следствие переменного электрического поля. Природа электромагнитного поля, способ его существования и конкретные проявления - радиоволны, свет, гамма-лучи.

Определение основных свойств монохроматического электромагнитного поля с использованием уравнения Максвелла для бесконечной среды.

Комплексные амплитуды векторов, мгновенные значения напряженности поля, выполнение граничных условий на стенках волновода. Общие характеристики, энергия и масса электромагнитного поля. Закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме.

Дивергенция плотности тока проводимости. Уравнения электромагнитного поля в интегральной форме. Методы получения дифференциального уравнения теплопроводности при одномерном распространении тепла. Расчет температурного поля в стационарных условиях по формуле Лапласа.

Изменение температуры в плоской однородной стене при стационарных условиях. Условия реализации обычной магнитной поляризации среды. Возбуждение электродинамических полей в металле. Закон частотной дисперсии волнового числа магнитной волны. Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.

PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Главная Коллекция рефератов "Otherreferats" Физика и энергетика Квазистационарные электромагнитные поля. Понятие о методе конечных элементов. Дифференциальные уравнения в частных производных. Определение параметров решающего устройства и запуск расчета.

Понятие о методе конечных элементов 4. Дифференциальные уравнения в частных производных 5. Основные уравнения и граничные условия 6.

Выбор пакета прикладных программ 7. Краткое описание пакета и его возможностей 8. Формирование задачи в соответствии с требованиями выбранного пакета. Введение На практике в большинстве случаев найти точное решение возникшей математической задачи не удается или это очень сложно, поскольку, обычно искомое решение выражается в привычных для нас элементарных или других известных функциях.

Основы МКЭ В науке и технике постоянно приходится сталкиваться с проблемой расчета систем, имеющих сложную геометрическую конфигурацию и нерегулярную физическую структуру. Понятие о методе конечных элементов МКЭ представляет собой эффективный численный метод решения инженерных и физических задач. Итак, при построении дискретной модели непрерывной величины поступают следующим образом: Дифференциальные уравнения в частных производных В COMSOL Multiphysics существует приложение дифференциальных уравнений в частных производных PDE modes для моделирования на основе уравнения.

Оно поддерживает три типа задания таких систем: Рассмотрим коэффициентную форму уравнений. В коэффициентной форме PDE выглядит следующим образом: Основные уравнения и граничные условия Квазистационарное приближение соответствует пренебрежению: Уравнения Максвелла для квазистационарного электромагнитного поля имеют вид: Квазистационарное приближение в понятиях потенциалов можно сформулировать, если использовать определение скалярного и векторного потенциалов 1.

Для гармонических полей это отношение можно записать: Для магнитных переменных могут использоваться следующие граничные условия: Для электрических переменных могут использоваться следующие граничные условия: Выбор пакета прикладных программ При реализации методом конечных элементов поставленной задачи расчет изменения квазистационарного электромагнитного поля использован пакет моделирования различных стационарных и нестационарных процессов в различных средах - Comsol Multiphysics 3.

Краткое описание пакета и его возможностей Программа основана на системе дифференциальных уравнений в частных производных. Существует три математических способа задания таких систем: Используя эти способы, можно изменять типы анализа, включая: Формирование задачи в соответствии с требованиями выбранного пакета Рассмотрим цилиндр, в котором расположены пять медных цилиндрических проводников с круглым поперечным разрезом, по которым протекают гармонические токи одинаковой плотности и одинакового направления.

Определяем рабочую область и задаем геометрию 3. Указываем электромагнитные свойства и начальные условия 4. Указываем граничные условия 5. Задаём параметры и строим сетку 6. Определяем параметры решающего устройства и запускаем расчет. Настраиваем режим отображения 8. Задание материальных свойств элемента Во вкладке Physics надо задать свойства материала, в данном случае электромагнитные, для распространенных материалов можно воспользоваться встроенной библиотекой.

Цилиндр в двухмерном виде 8. Задание граничных условий На рисунках 6 показано граничные условия: Free Mesh Parameters По умолчанию, Comsol строит в двумерном режиме треугольную, а в трехмерном тетраэдрическую сетку. Первично-сгенерированная конечно-элементная сетка Maximum element size задает максимальный размер элемента.

Переопределенная конечно-элементная сетка 8. По умолчанию, в расчетах теплопереноса выводится поле температур Рисунок Изображение с автоматическими настройками визуализатора дифференциальный уравнение квазистационарный электромагнитный Очень часто бывает нужно изменить в модели некоторые параметры геометрические размеры, граничные условия, материалы.

После настройки визуализации и решателя Мы видим, что Comsol очень наглядно показывает каким образом происходит изменение магнитного поля. Основные выводы Как видно из проделанной работы, результат во многом зависит от человеческого фактора. Заключение В ходе выполнения данного курсового проекта была проведена научная работа по сбору и обработке информации, на основе её анализа были выполнены действия по реализации задания проекта.

Теория метода конечных элементов. Электромагнитные поля и волны. Изучение плоских диэлектрических волноводов для ТЕ поляризации. Основные соотношения для высокочастотного электромагнитного поля. Дифференциальные уравнения Лапласа и Фурье.

Экспериментальное наблюдение волн магнитного поля и исследование их распространения в металлах. Другие документы, подобные "Квазистационарные электромагнитные поля".

  • Комментарии

Эффект опоздания становится неважным, если линейные размеры системы намного меньше длины волн, которые распространяются в системе. Комплексные токи и напряжения позволяют заменить дифференциальные Подробнее. Разделение неидеальных сред на неидеальные проводники и неидеальные диэлектрики является условным.



В качестве начальных условий при описании квазистационарных полей при помощи потенциалов следует выбрать начальные значения скалярного и векторного потенциалов. В однородной среде с постоянными проводимостью о и магнитной проницаемостью множитель можно вынести из-под знака , а согласно 58,3 имеем.